home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ Collection of Tools & Utilities / Collection of Tools and Utilities.iso / graphic / iterat31.zip / JARGON.TXT < prev    next >
Text File  |  1993-12-29  |  17KB  |  348 lines
  1.             A Short Introduction to the Jargon of Iteration Theory
  2.             ══════════════════════════════════════════════════════
  3.             
  4. Iteration theory (just as every other complicated field) has developed its own
  5. jargon.  This list includes some of the more common terms.  It may help you
  6. understand some of the other documentation better, and it may help you
  7. understand iteration better as well.
  8.  
  9. And if all else fails, you can use these spiffy mathematical terms to impress
  10. your friends with your vast stores of chaotic knowledge.
  11.  
  12.  
  13. Dynamical System
  14. ────────────────
  15. A dynamical system is simply a function together with the domain the function
  16. is defined on.  The domain can be anything--a line, a line segment, the plane,
  17. 3-space, 6 dimensional space, or any of the other weird "spaces" mathematicans
  18. are always coming up with.  (In Iterate!, the domain of the function is always
  19. the plane.)
  20.  
  21. The only restriction is that the domain and the range of the function must be
  22. the same.  Symbolically, we would write:
  23.  
  24.             f: D  D
  25.         
  26. This means that 'f' is a function with domain and range D. This requirement
  27. makes sense if you think about it.  When you iterate a function, you keep
  28. feeding points from the range back into the domain.  So if the range and the
  29. domain aren't the same, you're going to be in trouble.
  30.  
  31. The reason this is called a "dynamical system" is that "dynamics" means
  32. "movement".  What we are studying when we look at a dynamical system is how
  33. the points move around under the influence of the function.
  34.  
  35.  
  36. Iteration
  37. ─────────
  38. What we do when study a Dynamical System is "iterate" the points.  This means
  39. you start with a point x. Then figure out f(x).  Then f(f(x)), f(f(f(x))),
  40. f(f(f(f(x)))) and so on.
  41.  
  42. Writing all this f(f(f(f(f(x))))) stuff gets pretty tiresome, so
  43. mathematicians abbreviate by writing fⁿ(x).  This means that you apply
  44. function 'f' to point 'x' 'n' times.  So f²(x)=f(f(x)) and so on.
  45.  
  46. (It would be easy to get confused and think that f²(x) means "f(x) squared".
  47. To distinguish between the two, mathematicians write (f(x))² if they mean
  48. "f(x) squared."  It would also be easy to get confused and think that f²(x)
  49. means "the 2nd derivative of the function f." But if you're smart enough to
  50. take the second derivative of the function f, then you should be smart enough
  51. to tell the difference between f²(x) meaning "the second iteration of f
  52. applied to x" and f²(x) meaning "the second derivative of the function f.")
  53.  
  54.  
  55. Orbits
  56. ──────
  57. What you are interested in looking at in a dynamical system is the path the
  58. points take when they are iterated.  This path is called the "orbit".
  59.  
  60. Another way of saying the same thing: The orbit of point x consists of these
  61. points 
  62.             x, f(x), f²(x)), . . . , fⁿ(x), . . . 
  63.                  
  64.             
  65. The orbit of a point is what you see in Iterate! when you press <Space>.
  66.  
  67.  
  68. Fixed points
  69. ────────────
  70. Fixed points are points that don't go anywhere when they're iterated, that is,
  71. x=f(x)=f²(x) etc.
  72.  
  73. Another way of saying the same thing: The orbit of a fixed point consists only
  74. of the point itself.
  75.  
  76.  
  77. Periodic Points
  78. ───────────────
  79. Periodic points are points that come back to the original point after a
  80. certain number of iterations.  For instance, a period 2 point comes back to
  81. the original point after two iterations:
  82.  
  83.                     x         (starting point)
  84.                     f(x)      (a different point)
  85.                     f²(x)=x   (back to the starting point)
  86.                     
  87. Periodic points of every different period are possible.
  88.  
  89. Once a periodic point returns to the starting point, it just repeats the same
  90. points again until it reaches the starting point again.  
  91.  
  92. For instance, here is a possible orbit for a period 5 point:
  93.  
  94.     0, ½, 1, 1½, 2, 0, ½, 1, 1½, 2, 0, ½, 1, 1½, 2, 0, ½, 1, 1½, 2, . . .
  95.     
  96. As you can see, it just keeps repeating the same 5 points over and over.
  97.  
  98. So the orbit of a period 'n' point consists of just 'n' points.
  99.  
  100.  
  101. Attracting Orbits
  102. ─────────────────
  103. Attracting orbits suck nearby orbits closer and closer to them.  For instance,
  104. an attracting fixed point sucks all nearby points into itself.  A period 3
  105. attracting point sucks all points near its orbit closer and closer to the
  106. orbit (the orbit consists of three points, of course).
  107.  
  108.  
  109. Repelling Orbits
  110. ────────────────
  111. A repelling orbit drives nearby orbits away from it.
  112.  
  113.  
  114. Other Types of Orbits
  115. ─────────────────────
  116. Many other types of orbits are possible.  For instance, there are fixed points
  117. that are attracting in one direction and repelling in the other.
  118.  
  119. By using techniques from elementary calculus, it is relatively easy to tell
  120. which orbits will be attracting, repelling, or something else.  Check the
  121. literature for more details on this.
  122.  
  123. Using Iterate!, you can easily find examples of all of these different types 
  124. of orbits (fixed points, periodic points, repelling orbits, attracting 
  125. orbits, etc.).  You may have to try several different functions with 
  126. different parameters, and try iterating several different points in different
  127. areas of the plane for each of them, but eventually you will see all these 
  128. different types of orbits.
  129.  
  130.  
  131. Strange Attractors
  132. ──────────────────
  133. A strange attractor is similar to an attracting orbit.  The difference is that
  134. in an attracting orbit, everything is attracted into an orbit which consists
  135. of a finite number of points.  We would say the it is a "finite attractor".  A
  136. strange attractor, however, is an "infinite attractor".  That is, there is an
  137. infinite set of points that everything else is attracted to.
  138.  
  139. Where the attracting orbit consisted of only a few attracting points, you can
  140. think of a strange attractor as being a whole shape that is attracting.
  141.  
  142. Usually this shape is a very, very weird shape; that is why it is called a
  143. strange attractor.  
  144.  
  145. As a rule, the strange attractor is a fractal, with fractal dimension less
  146. than dimension of the dynamical system.  For instance, in Iterate!, we are
  147. iterating functions on the plane, which has dimension 2. So any strange
  148. attractors we find in Iterate!  will have dimension less than 2--say 1.7, 1.2,
  149. or 0.5.
  150.  
  151. Usually, the dynamical system is chaotic on the strange attractor.  It isn't
  152. chaotic on the rest of the dynamical system, though, since the rest of the
  153. system is just sucked up into the strange attractor.  (See below for the
  154. definition of chaos.)
  155.  
  156. To see a good example of a strange attractor, select the Horseshoe Map
  157. (Function L) with default window and parameters.  The "Horseshoe" shape that
  158. you see when you iterate a point (which actually consists of horseshoes
  159. within horseshoes within horseshoes) is a strange attractor.  You will notice
  160. that all points are drawn into this horseshoe shape--it is an attractor.  You
  161. will notice that once a point gets close to the horseshoe shape, it seems to
  162. just jump around randomly on it--it moves chaotically on the strange
  163. attractor.  The horseshoe shape appears to have a fractal dimension between 1
  164. and 2--probably about 1.4 or 1.5.
  165.  
  166. Another example of a strange attractor is Function F (the inverse Julia Set
  167. function).  Again, the strange attractor is a fractal with fractal dimension
  168. between 1 and 2.
  169.  
  170. Although strange attractors _are_ strange (hence the name), a dynamical system
  171. with a strange attractor is often easier to understand and analyze than one
  172. without a strange attractor.
  173.  
  174.  
  175. Forward and Reverse Orbits
  176. ──────────────────────────
  177. To make the reverse orbit of a point, think of running the function backwards.
  178. In other words, instead of applying the function to the point repeatedly, you
  179. apply the inverse function of to the point repeatedly.  All the points you get
  180. by doing this are the "reverse orbit".
  181.  
  182. Another way of saying the same thing: The reverse orbit of a point 'x' is all
  183. the points that are mapped to 'x' under iteration.  In other words, if
  184. fⁿ(y)=x, then y is in the reverse orbit of x.
  185.  
  186. If mathematicians are talking about "reverse orbits", they will often refer to
  187. the normal